Математический анализ Примеры

$\int 2 x^{2} \ln (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 2 x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{3}) - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{3}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Этап 4.2.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} \int x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{3} x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{2 \ln (x)}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 6.2.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

Этап 6.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{9} x^{3} + C$

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{9} x^{3} + C$