Математический анализ Примеры

$2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 2.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x e^{x}) + 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 4.2

Добавим $2 x e^{x}$ и $e^{x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x} + x^{2} e^{x}$

Этап 4.2.2

Добавим $2 x e^{x}$ и $2 x e^{x}$ .

$4 x e^{x} + 2 e^{x} + x^{2} e^{x}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$4 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $4 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$ .

$4 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$