Математический анализ Примеры

$lim_{r \to - \frac{3}{2}} \frac{\sqrt{31 - 12 r^{2}}}{16 r^{3} + 10}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $r$ к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{lim_{r \to - \frac{3}{2}} \sqrt{31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $r$ к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Этап 4

Найдем предел $31$ , который является константой по мере приближения $r$ к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Этап 5

Вынесем член $12$ из-под знака предела, так как он не зависит от $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $r^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $r$ к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Этап 8

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Этап 9

Вынесем степень $3$ в выражении $r^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Этап 10

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $r$ к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $- \frac{3}{2}$ для всех вхождений $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $r$ , подставив значение $- \frac{3}{2}$ для $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Этап 11.2

Найдем предел $r$ , подставив значение $- \frac{3}{2}$ для $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.3

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{9}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 (\frac{9}{4})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$\frac{\sqrt{31 + 4 (- 3) \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{31 + 4 \cdot - 3 \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.7

Умножим $- 3$ на $9$ .

$\frac{\sqrt{31 - 27}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.8

Вычтем $27$ из $31$ .

$\frac{\sqrt{4}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 10}$

Этап 12.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Этап 12.2.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Этап 12.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{2^{3}}) + 10}$

Этап 12.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{8}) + 10}$

Этап 12.2.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{8}$ в числитель.

$\frac{2}{16 (\frac{- 27}{8}) + 10}$

Этап 12.2.5.2

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$\frac{2}{8 (2) \frac{- 27}{8} + 10}$

Этап 12.2.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{8 \cdot 2 \frac{- 27}{8} + 10}$

Этап 12.2.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}$

Этап 12.2.6

Умножим $2$ на $- 27$ .

$\frac{2}{- 54 + 10}$

Этап 12.2.7

Добавим $- 54$ и $10$ .

$\frac{2}{- 44}$

Этап 12.3

Сократим общий множитель $2$ и $- 44$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 44}$

Этап 12.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 44$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Этап 12.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Этап 12.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 22}$

Этап 12.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{22}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{22}$

Десятичная форма:

$- 0.0\overline{45}$