Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{6} \frac{9}{4 \sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{9}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{9}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{6} \frac{1}{\sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 x - 2$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 2$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 6 - 2$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $3$ на $6$ .

$u_{upper} = 18 - 2$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из $18$ .

$u_{upper} = 16$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 3} d u$

Этап 3.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt[4]{u}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt[4]{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{9}{4} (\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Этап 5.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{9}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Этап 5.1.3

Сократим общий множитель $9$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 (3)}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Этап 5.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Этап 5.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Этап 5.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Этап 5.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{4}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Этап 5.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Этап 5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{4}}$ по $u$ имеет вид $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{16}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ в $16$ и в $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{4}{3} \cdot 16^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Этап 7.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Этап 7.2.5

Объединим $\frac{4}{3}$ и $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Этап 7.2.6

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Этап 7.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

Этап 7.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3})$

Этап 7.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{32 - 4}{3}$

Этап 7.2.10

Вычтем $4$ из $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{28}{3}$

Этап 7.2.11

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{4 \cdot 3}$

Этап 7.2.12

Умножим $3$ на $28$ .

$\frac{84}{4 \cdot 3}$

Этап 7.2.13

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{84}{12}$

Этап 7.2.14

Сократим общий множитель $84$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.14.1

Вынесем множитель $12$ из $84$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12}$

Этап 7.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.14.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12 (1)}$

Этап 7.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 1}$

Этап 7.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{1}$

Этап 7.2.14.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 8