Математический анализ Примеры

$y = 2 - \frac{\sin (5 x)}{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 - \frac{\sin (5 x)}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{\sin (5 x)}{3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$0 - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$0 - \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 1.2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 1.2.5

Умножим $5$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) \cdot 5)$

Этап 1.2.6

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$0 - \frac{1}{3} (5 \cdot \cos (5 x))$

Этап 1.2.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$0 - 5 (\frac{1}{3}) \cos (5 x)$

Этап 1.2.8

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{- 5}{3} \cos (5 x)$

Этап 1.2.9

Объединим $\frac{- 5}{3}$ и $\cos (5 x)$ .

$0 + \frac{- 5 \cos (5 x)}{3}$

Этап 1.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{5 \cos (5 x)}{3}$

Этап 1.3

Вычтем $\frac{5 \cos (5 x)}{3}$ из $0$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{5}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5 \cos (5 x)}{3}$ по $x$ равна $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} \cos (5 x)$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (5 x))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (5 x))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} (5 x))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{5}{3}) \cdot (\sin (5 x) \frac{d}{d x} (5 x))$

Этап 2.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{5}{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\sin (5 x) \frac{d}{d x} (5 x))$

Этап 2.3.2.2

Объединим $\sin (5 x)$ и $\frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (5 x) \cdot 5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.3.2.3

Перенесем $5$ влево от $\sin (5 x)$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \sin (5 x)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (5 x)}{3} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $5$ и $\frac{5 \sin (5 x)}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (5 \sin (5 x))}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.4.2

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{25 \sin (5 x)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{25 \sin (5 x)}{3} \cdot 1$

Этап 2.3.6

Умножим $\frac{25 \sin (5 x)}{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{25 \sin (5 x)}{3}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{3} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$5 \cos (5 x) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $5 \cos (5 x) = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $5 \cos (5 x) = 0$ на $5$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (5 x)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 5.1.2.1.2

Разделим $\cos (5 x)$ на $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{0}{5}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$\cos (5 x) = 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$5 x = \arccos (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$5 x = \frac{π}{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $5 x = \frac{π}{2}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $5 x = \frac{π}{2}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5.4.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 5}$

Этап 5.4.3.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{π}{10}$

Этап 5.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$5 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.6.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.6.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$5 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.6.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$5 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.6.2

Разделим каждый член $5 x = \frac{3 π}{2}$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Разделим каждый член $5 x = \frac{3 π}{2}$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Этап 5.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Этап 5.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Этап 5.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5.6.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Этап 5.6.2.3.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Этап 5.7

Решение уравнения $5 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{10}, \frac{3 π}{10}$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{10}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{25 \sin (5 (\frac{π}{10}))}{3}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{25 \sin (5 \frac{π}{5 (2)})}{3}$

Этап 7.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 2})}{3}$

Этап 7.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25 \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Этап 7.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{25 \cdot 1}{3}$

Этап 7.2

Умножим $25$ на $1$ .

$\frac{25}{3}$

Этап 8

$x = \frac{π}{10}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{10}$ — локальный минимум

Этап 9

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{10}$ .

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{π}{10}))}{3}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{π}{5 (2)}))}{3}$

Этап 9.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{π}{5 \cdot 2}))}{3}$

Этап 9.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (\frac{π}{2})}{3}$

Этап 9.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{1}{3}$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{10}) = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 9.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{10}) = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 9.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{10}) = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3}$

Этап 9.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{π}{10}) = \frac{6 - 1}{3}$

Этап 9.2.5.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$f (\frac{π}{10}) = \frac{5}{3}$

Этап 9.2.6

Окончательный ответ: $\frac{5}{3}$ .

$y = \frac{5}{3}$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{10}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{25 \sin (5 (\frac{3 π}{10}))}{3}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{25 \sin (5 \frac{3 π}{5 (2)})}{3}$

Этап 11.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \sin (5 \frac{3 π}{5 \cdot 2})}{3}$

Этап 11.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25 \sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Этап 11.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{25 (- \sin (\frac{π}{2}))}{3}$

Этап 11.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{25 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Этап 11.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{25 \cdot - 1}{3}$

Этап 11.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $25$ на $- 1$ .

$\frac{- 25}{3}$

Этап 11.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{25}{3}$

Этап 12

$x = \frac{3 π}{10}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{10}$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{10}$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{3 π}{10}))}{3}$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{3 π}{5 (2)}))}{3}$

Этап 13.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{3 π}{5 \cdot 2}))}{3}$

Этап 13.2.1.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Этап 13.2.1.1.2

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Этап 13.2.1.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Этап 13.2.1.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{- 1}{3}$

Этап 13.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 + \frac{1}{3}$

Этап 13.2.1.3

Умножим $- - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 13.2.1.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 + \frac{1}{3}$

Этап 13.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 13.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Этап 13.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3}$

Этап 13.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{6 + 1}{3}$

Этап 13.2.5.2

Добавим $6$ и $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{7}{3}$

Этап 13.2.6

Окончательный ответ: $\frac{7}{3}$ .

$y = \frac{7}{3}$

Этап 14

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 - \frac{\sin (5 x)}{3}$ .

$(\frac{π}{10}, \frac{5}{3})$ — локальный минимум

$(\frac{3 π}{10}, \frac{7}{3})$ — локальный максимум

Этап 15