Математический анализ Примеры

$\sqrt{2 + 2 x} {(x^{2} + 1)}^{3}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 + 2 x}$ в виде ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}] + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + 1$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + 1$ .

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $3$ влево от ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 + 2 x$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 + 2 x$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{{(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 10.3

Перенесем ${(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x]$

Этап 11

По правилу суммы производная $2 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 12

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 13

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 14

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $2$ и $\frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 15.2

Сократим общий множитель.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 15.3

Перепишем это выражение.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 17

Умножим $\frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Чтобы записать $6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Умножим ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Перенесем ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{2}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Упростим $6 {(2 + 2 x)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ .

$\frac{6 (2 + 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(6 \cdot 2 + 6 (2 x)) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из $(6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из $(6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.1.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.1.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ из ${(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((12 + 6 \cdot 2 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((12 + 12 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 x \cdot x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 (x \cdot x) + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 x^{2} + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.5

Добавим $12 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 13 x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2.6

Изменим порядок членов.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (13 x^{2} + 12 x + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3

Изменим порядок членов.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (13 x^{2} + 12 x + 1)}{{(2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$