Математический анализ Примеры

$\int 6 \sqrt{4 x - 5} d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \sqrt{4 x - 5} d x$

Этап 2

Пусть $u = 4 x - 5$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 4 x - 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $4 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 \int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Этап 3

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $6$ .

$\frac{6}{4} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.5

Умножим $u^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 5$ .

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}} + C$