Математический анализ Примеры

$2^{3 - \frac{x}{2}}$

Этап 1

Запишем $2^{3 - \frac{x}{2}}$ в виде функции.

$f (x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2^{3 - \frac{x}{2}} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = 3 - \frac{x}{2}$ . Тогда $d u_{1} = - \frac{1}{2} d x$ , следовательно $- 2 d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = 3 - \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $3 - \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \frac{x}{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - \frac{x}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Этап 4.1.4

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Этап 5.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot (1 \cdot 2) d u_{1}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot 2 d u_{1}$

Этап 5.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int - 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Этап 5.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int - (2 \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 5.6

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\int - (2^{1} \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int - 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Этап 7

Пусть $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $1 + u_{1}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 7.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 7.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 7.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Интеграл $2^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Этап 9

Перепишем $- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ в виде $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + u_{1}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + u_{1}} + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 - \frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{x}{2}} + C$

Этап 11

Объединим $2^{1 + 3 - \frac{x}{2}}$ и $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- \frac{2^{1 + 3 - \frac{x}{2}}}{\ln (2)} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{1}{2} x} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{1}{2} x} + C$