Математический анализ Примеры

$\int_{3}^{5} \frac{2 x^{2} + x + 4}{x - 1} d x$

Этап 1

Разделим $2 x^{2} + x + 4$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - 2 x$ .

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					+	$3 x$	-	$3$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x - 3$ .

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$
							+	$7$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{3}^{5} 2 x + 3 + \frac{7}{x - 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Этап 7

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 8

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 8.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Этап 8.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 8.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Этап 8.5

Вычтем $1$ из $5$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 8.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Этап 8.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Этап 10.2

Найдем значение $3 x$ в $5$ и в $3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Этап 10.3

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $4$ и в $2$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.4

Вычтем $9$ из $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.5

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{8}{1}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.5.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.6

Умножим $2$ на $8$ .

$16 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.7

Умножим $3$ на $5$ .

$16 + 15 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.8

Умножим $- 3$ на $3$ .

$16 + 15 - 9 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.9

Вычтем $9$ из $15$ .

$16 + 6 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 10.4.10

Добавим $16$ и $6$ .

$22 + 7 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

Этап 11

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$22 + 7 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

Этап 12.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{2})$

Этап 12.3

Разделим $4$ на $2$ .

$22 + 7 \ln (2)$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$22 + 7 \ln (2)$

Десятичная форма:

$26.85203026 \dots$

Этап 14