Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 4

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{u}{2}$ .

$\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.1.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{2}{u}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.1.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.1.4

Умножим $\frac{2 \sqrt{u}}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.1.5

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sqrt{u}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $u^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.3.2

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.3.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.4.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 5.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 8.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 8.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{- 5} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $x^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Этап 10.1.2

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + C$

Этап 10.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$