Математический анализ Примеры

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} & x \neq - 1 \\ 1 & x = - 1 \end{cases}$

Этап 1

Найдем предел $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ , когда $x$ стремится к $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 1.1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Этап 1.1.1.3.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.1.3.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 1.1.3.6

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{1 + 0}$

Этап 1.1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{1}$

Этап 1.1.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} 2 x$

Этап 1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - 1} x$

Этап 1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$2 \cdot - 1$

Этап 1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$1$

Этап 3

Поскольку предел $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ , когда $x$ стремится к $- 1$ , не равен значению функции в точке $x = - 1$ , функция не является непрерывной в точке $x = - 1$ .

Не является непрерывной

Этап 4