Математический анализ Примеры

$\int (5 x^{- 3} + 6 x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 5 x^{- 3} + 6 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x^{- 3} d x + \int 6 x d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{- 3} d x + \int 6 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 6 x d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 6 x d x$

Этап 5.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 6 x d x$

Этап 6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 \int x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{- 5}{2 x^{2}} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{2 x^{2}} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{5}{2 x^{2}} + 6 \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 8.2.3

Объединим $6$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{5}{2 x^{2}} + \frac{6 x^{2}}{2} + C$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$- \frac{5}{2 x^{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{2} + C$

Этап 8.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{5}{2 x^{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 (1)} + C$

Этап 8.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5}{2 x^{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 8.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{5}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{1} + C$

Этап 8.2.4.2.4

Разделим $3 x^{2}$ на $1$ .

$- \frac{5}{2 x^{2}} + 3 x^{2} + C$