Математический анализ Примеры

$lim_{v \to - 3} \frac{\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{v + 3}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $v$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Этап 1.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $v$ к $- 3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - lim_{v \to - 3} v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $v$ к $- 3$ .

$\frac{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $\sqrt{7}$ , который является константой по мере приближения $v$ к $- 3$ .

$\frac{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Этап 1.1.2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $v$ , подставив значение $- 3$ для $v$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Этап 1.1.2.6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Этап 1.1.2.6.2.2

Вычтем $\sqrt{7}$ из $\sqrt{7}$ .

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $v$ к $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + lim_{v \to - 3} 3}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $v$ к $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $v$ , подставив значение $- 3$ для $v$ .

$\frac{0}{- 3 + 3}$

Этап 1.1.3.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{v \to - 3} \frac{\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{v + 3} = lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - v}$ в виде ${(4 - v)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [{(4 - v)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ имеет вид $f' (g (v)) g' (v)$ , где $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ и $g (v) = 4 - v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - v$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - v$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $4 - v$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [4] + \frac{d}{d v} [- v]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d v} [4] + \frac{d}{d v} [- v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $v$ , производная $4$ относительно $v$ равна $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d v} [- v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $v$ , производная $- v$ по $v$ равна $- \frac{d}{d v} [v]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d v} [v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.13

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.15

Объединим $\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.16

Перенесем $- 1$ влево от ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- 1 \cdot {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.17

Перепишем $- 1 {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.18

Перенесем ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- 1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- \sqrt{7}$ является константой относительно $v$ , производная $- \sqrt{7}$ относительно $v$ равна $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.5

Добавим $- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $v + 3$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d v} [3]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $3$ является константой относительно $v$ , производная $3$ относительно $v$ равна $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(4 - v)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{4 - v}$ .

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $v$ .

$- lim_{v \to - 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $v$ .

$- \frac{1}{2} lim_{v \to - 3} \frac{1}{\sqrt{4 - v}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $v$ к $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{v \to - 3} 1}{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v}}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $v$ к $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v}}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - v}}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $v$ к $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - lim_{v \to - 3} v}}$

Этап 2.7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $v$ к $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v}}$

Этап 2.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Найдем предел $v$ , подставив значение $- 3$ для $v$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 + 3}}$

Этап 2.8.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Добавим $4$ и $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$

Этап 2.8.2.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Этап 2.8.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 2.8.2.3.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 2.8.2.3.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 2.8.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 2.8.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 2.8.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.8.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.8.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.8.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.8.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 2.8.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

Этап 2.8.2.4

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{7}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{7}}{7 \cdot 2}$

Этап 2.8.2.4.2

Умножим $7$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

Десятичная форма:

$- 0.18898223 \dots$