Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 4 x^{2}}{9 x^{2} + 5 x}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2

Разделим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $9$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{9 + \frac{5 x}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{9 + \frac{x \cdot 5}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{9 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{9 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^{2}} - 4}{9 + \frac{5}{x}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}} - 4}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{5}{x}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{5}{x}}$

Этап 2.5

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{5}{x}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{8 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{5}{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{5}{x}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Этап 4.3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{9 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Этап 4.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{9 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 1 \cdot 4}{9 + 5 \cdot 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 4}{9 + 5 \cdot 0}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0 - 4}{9 + 5 \cdot 0}$

Этап 6.1.3

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{- 4}{9 + 5 \cdot 0}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{- 4}{9 + 0}$

Этап 6.2.2

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{- 4}{9}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{9}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{4}{9}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{4}$