Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 (x^{3} + 3)}{{(x^{4} + 12 x)}^{3}} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{x^{3} + 3}{{(x^{4} + 12 x)}^{3}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{4} + 12 x$ . Тогда $d u = (4 x^{3} + 12) d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + 3) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{4} + 12 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{4} + 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 12 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} + 12 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$4 x^{3} + 12$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Этап 3.2

Перенесем $4$ влево от $u^{3}$ .

$4 \int \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 5.1.3

Умножим $\int \frac{1}{u^{3}} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int u^{- 3} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

Этап 7.2.2

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 12 x$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{4} + 12 x)}^{2}} + C$