Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 \sqrt[4]{x} - \frac{3}{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 \sqrt[4]{x} d x + \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \sqrt[4]{x} d x + \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$5 \int x^{\frac{1}{4}} d x + \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) + \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - \int \frac{3}{x} d x$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{\frac{5}{4}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 9.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C) - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C) - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$4 x^{\frac{5}{4}} - 3 \ln (| x |) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 \sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{5}{4}} - 3 \ln (| x |) + C$