Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Этап 1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 1.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ в виде $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ , вынося $\cot (x)$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Этап 4

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Этап 5

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

Этап 6

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0$ .

$0$

Этап 7

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Этап 8

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

Этап 9

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0$ .

$e^{0}$

Этап 10

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$