Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + x$ . Тогда $d u = (2 x + 1) d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + x$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + x$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{2} e^{u} d u$

Этап 2

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{2}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $e^{u}$ в $2$ и в $0$ .

$(e^{2}) - e^{0}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{2} - 1$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{2} - 1$

Десятичная форма:

$6.38905609 \dots$

Этап 5