Математический анализ Примеры

$\sqrt{x} \cdot \ln (x)$

Этап 1

Запишем $\sqrt{x} \cdot \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{x} \cdot \ln (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{x} \cdot \ln (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = \sqrt{x}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

Этап 7.2

Перенесем $x^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

Этап 7.3

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

Этап 7.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

Этап 7.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Этап 7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Этап 7.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

Этап 7.3.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $\frac{2 \ln (x)}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.5

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{x} \cdot \ln (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$