Математический анализ Примеры

$\int (2 x^{5} + x - 6 x^{3}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 2 x^{5} + x - 6 x^{3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{5} d x + \int x d x + \int - 6 x^{3} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{5} d x + \int x d x + \int - 6 x^{3} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$2 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int x d x + \int - 6 x^{3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 6 x^{3} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$2 (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 6 x^{3} d x$

Этап 7

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 6 \int x^{3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$\frac{x^{6}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 6 \frac{x^{4}}{4} + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $- 6$ и $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{x^{6}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6 x^{4}}{4} + C$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{4}$ .

$\frac{x^{6}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 3 x^{4})}{4} + C$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x^{6}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 3 x^{4})}{2 (2)} + C$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{6}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 3 x^{4})}{2 \cdot 2} + C$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{6}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x^{4}}{2} + C$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{6}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x^{4}}{2} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{4} + C$