Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{3}{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{5}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 10

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - (5 \int \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в $\csc^{2} (x)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - (5 \int \csc^{2} (x) d x)$

Этап 11.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 5 \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 12

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 5 (- \cot (x) + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

$3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} - 5 (- \cot (x)) + C$

Этап 13.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} + 5 \cot (x) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{5}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) - \frac{4}{x} + 5 \cot (x) + C$