Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} (3 \sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} \frac{2}{x} d x$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - (2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Этап 9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Этап 11.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $4$ и в $1$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.5

Умножим $2$ на $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{16 - 2}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.9

Вычтем $2$ из $16$ .

$3 (\frac{14}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.10

Объединим $3$ и $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.11

Умножим $3$ на $14$ .

$\frac{42}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.12

Сократим общий множитель $42$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14}{1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.1.3.12.2.4

Разделим $14$ на $1$ .

$14 - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 - 2 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

Этап 11.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{1})$

Этап 11.3.3

Разделим $4$ на $1$ .

$14 - 2 \ln (4)$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$14 - 2 \ln (2^{2})$

Этап 12.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$14 - 2 (2 \ln (2))$

Этап 12.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$14 - 4 \ln (2)$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$14 - 4 \ln (2)$

Десятичная форма:

$11.22741127 \dots$

Этап 14