Математический анализ Примеры

$\int \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Тогда $d u_{2} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ , следовательно $- d u_{2} = \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ на $1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{2}{1} u_{2} d u_{2}$

Этап 2

Разделим $2$ на $1$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2.3

Умножим ${u_{2}}^{2}$ на $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$\sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C$