Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + x}{4 \sin (2 x) - 3 x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Этап 1.2.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Этап 1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Этап 1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Этап 1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Этап 1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Этап 1.2.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.3.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.3.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Этап 1.3.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 \cdot 0) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (2 \cdot 0) - 3 \cdot 0}$

Этап 1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{4 \sin (0) - 3 \cdot 0}$

Этап 1.3.7.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

Этап 1.3.7.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Этап 1.3.7.1.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.3.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + x}{4 \sin (2 x) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $4 \sin (2 x) - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (2 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.6.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.6.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.6.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.6.5

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.6.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.6.7

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3 \cdot 1}$

Этап 3.7.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3}$

Этап 3.8

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{- 3 + 8 \cos (2 x)}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x + 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Этап 6

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}$

Этап 9

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}$

Этап 10

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 14.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cos (0)}$

Этап 14.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8 \cdot 1}$

Этап 14.2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{1}{- 3 + 8}$

Этап 14.2.4

Добавим $- 3$ и $8$ .

$\frac{1}{5}$