Математический анализ Примеры

$\int {(1 - x - y)}^{2} d y$

Этап 1

Пусть $u = 1 - x - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - x - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - x - y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - x - y]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 0 - 1$

Этап 1.1.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - 1$

Этап 1.1.4.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - u^{2} d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{2} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 4

Перепишем $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ в виде $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$- \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x - y$ .

$- \frac{1}{3} {(1 - x - y)}^{3} + C$