Математический анализ Примеры

$y = - 2 x^{4} \sqrt{4 x + 5}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x + 5}$ в виде ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x + 5$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x + 5$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.8.3

Перенесем ${(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.9

По правилу суммы производная $4 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.12

Умножим $4$ на $1$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.13

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Добавим $4$ и $0$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.14.2

Объединим $\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $4$ .

$- 2 (\frac{x^{4} \cdot 4}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.14.3

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{4 \cdot x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.14.4

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{4}$ .

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.15

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 ({(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.15.2

Сократим общий множитель.

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.15.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 x^{3}))$

Этап 4.17

Перенесем $4$ влево от ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 4 \cdot {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{3})$

Этап 4.18

Объединим $\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $4 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{3}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Перенесем ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.18.2

Чтобы записать $4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19

Умножим ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Перенесем ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} ({(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.19.5

Разделим $2$ на $2$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{1}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.20

Упростим $4 x^{3} {(4 x + 5)}^{1}$ .

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.21

Объединим $- 2$ и $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5))}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5))}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x) + 4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 x^{4}) + 2 (4 x^{3} (4 x)) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{3} (4 x)) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.3.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 (x \cdot x^{3}) \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 (x^{1} x^{3}) \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{1 + 3} \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.3.1.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{4} \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{4 x^{4} + 2 (16 x^{4}) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.3.1.4

Умножим $16$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.3.1.5

Умножим $5$ на $4$ .

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 2 (20 x^{3})}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.3.1.6

Умножим $20$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.3.2

Добавим $4 x^{4}$ и $32 x^{4}$ .

$- \frac{36 x^{4} + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.4

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $36 x^{4} + 40 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.4.1

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $36 x^{4}$ .

$- \frac{4 x^{3} (9 x) + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.4.2

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $40 x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{3} (9 x) + 4 x^{3} (10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.23.4.3

Вынесем множитель $4 x^{3}$ из $4 x^{3} (9 x) + 4 x^{3} (10)$ .

$- \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$