Математический анализ Примеры

$y = \arcsin (\tan (x^{3}))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\tan (x^{3})))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = \tan (x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Этап 3.1.2

Производная $\arcsin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (x^{3})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\sec^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\sec^{2} (x^{3})$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (3 x^{2})$

Этап 3.3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим $3$ и $\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ .

$\frac{3 \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} x^{2}$

Этап 3.3.3.2

Объединим $\frac{3 \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Этап 3.3.3.3

Изменим порядок множителей в $3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$