Математический анализ Примеры

$\ln (1 - x)$

Этап 1

Запишем $\ln (1 - x)$ в виде функции.

$f (x) = \ln (1 - x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \ln (1 - x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (1 - x)$ и $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Этап 5

Объединим $x$ и $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

Этап 7.1.2

Умножим $\int \frac{x}{1 - x} d x$ на $1$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

Этап 7.2

Изменим порядок $1$ и $- x$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

Этап 8

Разделим $x$ на $- x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 8.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 8.3

Умножим новое частное на делитель.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Этап 8.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Этап 8.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Этап 8.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 11

Пусть $u = - x + 1$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u = - x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 11.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 13

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 14

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

Этап 15

Упростим.

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $- x + 1$ .

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

Этап 17

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \ln (1 - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$