Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 - r^{2}}} d r$

Этап 1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - r^{2}}} d r$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - r^{2}}}$ по $r$ имеет вид $\arcsin (r)$ .

$\arcsin (r)]_{0}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\arcsin (r)$ в $\sqrt{\frac{3}{2}}$ и в $0$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{3}{2}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\arcsin (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\arcsin (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}) - \arcsin (0)$

Этап 3.2.5

Умножим $3$ на $2$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}) - \arcsin (0)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}) - 0$

Этап 3.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}) + 0$

Этап 3.3.3

Добавим $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ и $0$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Этап 4