Математический анализ Примеры

$h (x) = {\begin{cases} x^{2} + k^{2}, 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{2 x + 4}{x - 1}, x > 2 \end{cases}$

Этап 1

Найдем предел $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ , когда $x$ стремится к $2$ справа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим двусторонний предел на правосторонний.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x + 4}{x - 1}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 2 x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 2 x + lim_{x \to 2^{+}} 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Этап 1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + lim_{x \to 2^{+}} 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Этап 1.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

Этап 1.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 1}$

Этап 1.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.8

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 4}{2 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 + 4}{2 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.9.1.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{8}{2 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8}{2 - 1}$

Этап 1.9.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{8}{1}$

Этап 1.9.3

Разделим $8$ на $1$ .

$8$

Этап 2

Найдем значение $x^{2} + k^{2}$ в точке $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

${(2)}^{2} + k^{2}$

Этап 2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 + k^{2}$

Этап 3

Поскольку предел $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ , когда $x$ стремится к $2$ справа, не равен значению функции в точке $x = 2$ , функция не является непрерывной в точке $x = 2$ .

Не является непрерывной

Этап 4