Математический анализ Примеры

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Этап 1

Запишем $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Этап 6

Развернем $(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.5

Упростим.

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.9

Умножим $4$ на $1$ .

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

Этап 6.10

Перенесем $4$ .

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Этап 13.2

Упростим.

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$