Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} x^{2} \sin (π x^{2})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$lim_{x \to 1} x^{2} \cdot lim_{x \to 1} \sin (π x^{2})$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 1} \sin (π x^{2})$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

${(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 1} π x^{2})$

Этап 4

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sin (π lim_{x \to 1} x^{2})$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sin (π {(lim_{x \to 1} x)}^{2})$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$1^{2} \cdot \sin (π {(lim_{x \to 1} x)}^{2})$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$1^{2} \cdot \sin (π \cdot 1^{2})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 \cdot \sin (π \cdot 1^{2})$

Этап 7.2

Умножим $\sin (π \cdot 1^{2})$ на $1$ .

$\sin (π \cdot 1^{2})$

Этап 7.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sin (π \cdot 1)$

Этап 7.4

Умножим $π$ на $1$ .

$\sin (π)$

Этап 7.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (0)$

Этап 7.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0$