Математический анализ Примеры

$e^{2 x} + \frac{2}{x}$

Этап 1

Запишем $e^{2 x} + \frac{2}{x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{2 x} + \frac{2}{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{2 x} + \frac{2}{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 \ln (| x |) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 \ln (| x |) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{2 x} + \frac{2}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 \ln (| x |) + C$