Математический анализ Примеры

$e^{y} = \frac{x^{2}}{y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{y})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{y} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{2 \cdot y x - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x y - x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{x (2 y) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} y'$ .

$\frac{x (2 y) + x (- x y')}{y^{2}}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$e^{y} y' = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$e^{y} y' y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Изменим порядок множителей в $e^{y} y' y^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y - x y')$

Этап 5.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y) + x (- x y')$

Этап 5.2.2.1.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y + x (- x y')$

Этап 5.2.2.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x (x y')$

Этап 5.2.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - (x \cdot x) y'$

Этап 5.2.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x^{2} y'$

Этап 5.2.2.1.5

Перенесем $x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - y' x^{2}$

Этап 5.2.2.1.6

Изменим порядок $2 x y$ и $- y' x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = - y' x^{2} + 2 x y$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $y' x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$y' y^{2} e^{y} + y' x^{2} = 2 x y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2} e^{y} + y' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2} e^{y}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2})$ .

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ на $y^{2} e^{y} + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ на $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$