Математический анализ Примеры

$\sin (2 x) - \tan (x) - x$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sin (2 x) - \tan (x) - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cos (2 x) - \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (2 x) - \sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cos (2 x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cos (2 x) - \sec^{2} (x) - 1$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$- 1 + 2 \cos (2 x) - \sec^{2} (x)$