Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.7.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.7.1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 + 0 - 1}$

Этап 1.3.7.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.7.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $e^{4 x} - 4 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.6.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.6.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.6.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.6.4

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.6.5

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.7.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + 0}$

Этап 3.9

Добавим $4 e^{4 x} - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $8$ и $4 e^{4 x} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 e^{4 x} - 4}$

Этап 4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) - 4}$

Этап 4.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)}$

Этап 4.1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

Этап 4.1.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

Этап 4.1.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{e^{4 x} - 1}$

Этап 4.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

Этап 5.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

Этап 5.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 5.1.3.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$2 \frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 5.1.3.1.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 5.1.3.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Этап 5.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Этап 5.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$2 \frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 5.1.3.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 5.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Этап 5.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 5.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 5.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Этап 5.3.3

По правилу суммы производная $e^{4 x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 5.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 5.3.4.1.2

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 5.3.4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 5.3.4.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 5.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 5.3.4.4

Умножим $4$ на $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 5.3.4.5

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 5.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + 0}$

Этап 5.3.6

Добавим $4 e^{4 x}$ и $0$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x}}$

Этап 6.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

Этап 6.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

Этап 6.4

Внесем предел под знак экспоненты.

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{lim_{x \to 0} 4 x}}$

Этап 6.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 lim_{x \to 0} x}}$

Этап 7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Этап 8.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Этап 8.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Этап 8.2

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

Этап 8.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

Этап 8.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{2 e^{0}}$

Этап 8.4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 8.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$