Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{4 (x + 3)}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{x + 3}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 2.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- 3)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 2.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- 3)}^{2} + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 2.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 2.1.2.5.1.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 2.1.2.5.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{- 3 + 3}$

Этап 2.1.3.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Этап 2.3.5

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Этап 2.3.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + 0}$

Этап 2.3.8

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1}$

Этап 2.4

Разделим $2 x + 3$ на $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} 2 x + 3$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{4} (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 3)$

Этап 3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{4} (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3)$

Этап 3.3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{4} (2 lim_{x \to - 3} x + 3)$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot - 3 + 3)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{1}{4} (- 6 + 3)$

Этап 5.2

Добавим $- 6$ и $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 3$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{4}$

Этап 5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.75$