Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{9}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{9}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{9}{\cos^{2} (x)} d x + \int - 3 \sin (x) d x$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x + \int - 3 \sin (x) d x$

Этап 5

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$9 \int \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sin (x) d x$

Этап 6

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$9 (\tan (x) + C) + \int - 3 \sin (x) d x$

Этап 7

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$9 (\tan (x) + C) - 3 \int \sin (x) d x$

Этап 8

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$9 (\tan (x) + C) - 3 (- \cos (x) + C)$

Этап 9

Упростим.

$9 \tan (x) + 3 \cos (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{9}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x)$ .

$F (x) =$ $9 \tan (x) + 3 \cos (x) + C$