Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}} d x$

Этап 3

Пусть $u = 42 - 3 x$ . Тогда $d u = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 42 - 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $42 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [42 - 3 x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

По правилу суммы производная $42 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 3.1.2.2

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $42$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Этап 3.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 3$

Этап 3.1.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$- 3$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Этап 4.3

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 7.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 7.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 7.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $42 - 3 x$ .

$- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$