Математический анализ Примеры

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3} d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 10 t^{- 3} d t + \int 12 t^{- 9} d t + \int 4 t^{3} d t$

Этап 3

Поскольку $10$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$10 \int t^{- 3} d t + \int 12 t^{- 9} d t + \int 4 t^{3} d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{- 3}$ по $t$ имеет вид $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ .

$10 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int 12 t^{- 9} d t + \int 4 t^{3} d t$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $t^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$10 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int 12 t^{- 9} d t + \int 4 t^{3} d t$

Этап 5.2

Перенесем $t^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int 12 t^{- 9} d t + \int 4 t^{3} d t$

Этап 6

Поскольку $12$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$10 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + 12 \int t^{- 9} d t + \int 4 t^{3} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{- 9}$ по $t$ имеет вид $- \frac{1}{8} t^{- 8}$ .

$10 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + 12 (- \frac{1}{8} t^{- 8} + C) + \int 4 t^{3} d t$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $t^{- 8}$ и $\frac{1}{8}$ .

$10 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + 12 (- \frac{t^{- 8}}{8} + C) + \int 4 t^{3} d t$

Этап 8.2

Перенесем $t^{- 8}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + 12 (- \frac{1}{8 t^{8}} + C) + \int 4 t^{3} d t$

Этап 9

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$10 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + 12 (- \frac{1}{8 t^{8}} + C) + 4 \int t^{3} d t$

Этап 10

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$10 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + 12 (- \frac{1}{8 t^{8}} + C) + 4 (\frac{1}{4} t^{4} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$- \frac{5}{t^{2}} - \frac{3}{2 t^{8}} + 4 (\frac{1}{4} t^{4}) + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $t^{4}$ .

$- \frac{5}{t^{2}} - \frac{3}{2 t^{8}} + 4 \frac{t^{4}}{4} + C$

Этап 11.2.2

Объединим $4$ и $\frac{t^{4}}{4}$ .

$- \frac{5}{t^{2}} - \frac{3}{2 t^{8}} + \frac{4 t^{4}}{4} + C$

Этап 11.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{5}{t^{2}} - \frac{3}{2 t^{8}} + \frac{4 t^{4}}{4} + C$

Этап 11.2.3.2

Разделим $t^{4}$ на $1$ .

$- \frac{5}{t^{2}} - \frac{3}{2 t^{8}} + t^{4} + C$