Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 1

Разобьем дробь $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ на две дроби.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 4

Пусть $u = x^{2} + 9$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x^{2} + 9$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 7.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Этап 9

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $9$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Этап 10.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Этап 12.2

Упростим.

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 9$ .

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$