Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{2 x}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Этап 1.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Этап 1.1.3

Поскольку показатель степени $2 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{2 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} (2 \cdot 1)}$

Этап 1.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} \cdot 2}$

Этап 1.3.7

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2 x}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Этап 2.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Этап 2.1.3

Поскольку показатель степени $2 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{2 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 2.3.3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} (2 \cdot 1)}$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} \cdot 2}$

Этап 2.3.7

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 x}}$

Этап 3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{2 x}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0$