Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{- 2} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

Этап 9

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $4$ и в $1$ .

$4 ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 11.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 (- \frac{1}{4} + 1) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$4 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{- 1 + 4}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.5

Добавим $- 1$ и $4$ .

$4 (\frac{3}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.6

Объединим $4$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.7

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.8

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.8.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.8.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.9

Возведем $4$ в степень $2$ .

$3 + 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.10

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$3 + 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.10.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$3 + 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.11

Единица в любой степени равна единице.

$3 + 2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.12

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.13

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 + 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.15.1

Умножим $8$ на $2$ .

$3 + 2 \frac{16 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.15.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$3 + 2 (\frac{15}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.16

Объединим $2$ и $\frac{15}{2}$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.17

Умножим $2$ на $15$ .

$3 + \frac{30}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.18

Сократим общий множитель $30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.18.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.18.2.2

Сократим общий множитель.

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.18.2.3

Перепишем это выражение.

$3 + \frac{15}{1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.18.2.4

Разделим $15$ на $1$ .

$3 + 15 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.19

Добавим $3$ и $15$ .

$18 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.20

Возведем $4$ в степень $3$ .

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 11.2.4.21

Единица в любой степени равна единице.

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 11.2.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$18 - 3 \frac{64 - 1}{3}$

Этап 11.2.4.23

Вычтем $1$ из $64$ .

$18 - 3 (\frac{63}{3})$

Этап 11.2.4.24

Сократим общий множитель $63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.24.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Этап 11.2.4.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.24.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Этап 11.2.4.24.2.2

Сократим общий множитель.

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.24.2.3

Перепишем это выражение.

$18 - 3 (\frac{21}{1})$

Этап 11.2.4.24.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$18 - 3 \cdot 21$

Этап 11.2.4.25

Умножим $- 3$ на $21$ .

$18 - 63$

Этап 11.2.4.26

Вычтем $63$ из $18$ .

$- 45$

Этап 12