Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} y)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} y} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $y$ и $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{y}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Этап 2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Этап 2.4.2

Объединим $\frac{2}{x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Этап 2.4.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Этап 2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x}$