Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 3 x}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} + 2 x^{2} + 3 x}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} 2 x^{2} + lim_{x \to 1} 3 x}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} 2 x^{2} + lim_{x \to 1} 3 x}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3 x}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3 x}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} + 2 \cdot 1^{2} + 3 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 7.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1}{1}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим $1^{3} + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1$ на $1$ .

$1^{3} + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1$

Этап 8.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1$

Этап 8.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$1 + 2 + 3 \cdot 1$

Этап 8.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + 2 + 3$

Этап 8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 + 3$

Этап 8.4

Добавим $3$ и $3$ .

$6$