Математический анализ Примеры

$3 \sqrt{x} + x^{2018}$

Этап 1

Запишем $3 \sqrt{x} + x^{2018}$ в виде функции.

$f (x) = 3 \sqrt{x} + x^{2018}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} + x^{2018} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 \sqrt{x} d x + \int x^{2018} d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \sqrt{x} d x + \int x^{2018} d x$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{2018} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{2018} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2018}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2019} x^{2019}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{1}{2019} x^{2019} + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{1}{2019} x^{2019} + C$

Этап 9.2

Упростим.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2019} x^{2019} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3 \sqrt{x} + x^{2018}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2019} x^{2019} + C$