Математический анализ Примеры

$\int \frac{12 x^{4} + 14 x^{3} + x^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $12 x^{4} + 14 x^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $12 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2}) + 14 x^{3} + x^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $14 x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2}) + x^{2} (14 x) + x^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.3

Умножим на $1$ .

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2}) + x^{2} (14 x) + x^{2} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (12 x^{2}) + x^{2} (14 x)$ .

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2} + 14 x) + x^{2} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (12 x^{2} + 14 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2} + 14 x + 1)}{x^{2}} d x$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x^{2} (12 x^{2} + 14 x + 1)}{x^{2}} d x$

Этап 1.2.2

Разделим $12 x^{2} + 14 x + 1$ на $1$ .

$\int 12 x^{2} + 14 x + 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 12 x^{2} d x + \int 14 x d x + \int d x$

Этап 3

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int x^{2} d x + \int 14 x d x + \int d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 14 x d x + \int d x$

Этап 5

Поскольку $14$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $14$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 \int x d x + \int d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Этап 8.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 14 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Этап 8.2

Упростим.

$4 x^{3} + 7 x^{2} + x + C$