Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$\int \frac{x^{3}}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{x^{3}}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Этап 5

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Этап 6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Этап 7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{x^{3}}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Этап 9.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Этап 9.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Этап 9.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Этап 10

Добавим $x$ и $x$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 11

Разделим $x^{3}$ на $x^{2} + 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 11.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 11.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 11.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 11.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 11.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Этап 11.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Этап 11.8

Умножим новое частное на делитель.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x^{2}$	-	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$2$

Этап 11.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Этап 11.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Этап 11.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x - 2 + \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 15

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Этап 15.1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 15.1.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 15.1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 15.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 15.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 15.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 15.1.5

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 15.1.5.2

Разделим $3 x + 2$ на $1$ .

$3 x + 2 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 15.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.6.1

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x + 2 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 15.1.6.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 15.1.6.2

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.6.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Этап 15.1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 15.1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 15.1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 x + 2 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Этап 15.1.6.2.2.4

Разделим $B (x + 1)$ на $1$ .

$3 x + 2 = A + B (x + 1)$

Этап 15.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 2 = A + B x + B \cdot 1$

Этап 15.1.6.4

Умножим $B$ на $1$ .

$3 x + 2 = A + B x + B$

Этап 15.1.7

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$3 x + 2 = B x + A + B$

Этап 15.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = B$

Этап 15.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + B$

Этап 15.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$3 = B$

$2 = A + B$

$3 = B$

$2 = A + B$

Этап 15.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 3$ .

$B = 3$

$2 = A + B$

Этап 15.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $2 = A + B$ на $3$ .

$2 = A + 3$

$B = 3$

Этап 15.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

Этап 15.3.3

Решим относительно $A$ в $2 = A + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A + 3 = 2$ .

$A + 3 = 2$

$B = 3$

Этап 15.3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$A = 2 - 3$

$B = 3$

Этап 15.3.3.2.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

Этап 15.3.4

Решим систему уравнений.

$A = - 1 B = 3$

Этап 15.3.5

Перечислим все решения.

$A = - 1, B = 3$

Этап 15.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1}$

Этап 15.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1} d x$

Этап 16

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Этап 17

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Этап 18

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 18.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 18.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 18.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 18.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 18.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Этап 19

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Этап 19.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Этап 19.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Этап 20

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Этап 21

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 22

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 22.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 22.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 22.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 22.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 22.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 23

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 24

Упростим.

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 25

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 25.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 26

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$