Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{9}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Этап 1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 4}} d x$

Этап 2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)$ .

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Этап 4.1.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| x |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Этап 4.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $arcsec (| x |)$ .

$9 (\frac{arcsec (| x |)}{2}]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{arcsec (| x |)}{2}$ в $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ и в $- 2$ .

$9 (\frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{2} - \frac{arcsec (| - 2 |)}{2})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 \frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ приблизительно равно $- 1.15470053$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ и вычтем абсолютное значение.

$9 \frac{arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Этап 5.2.2

Точное значение $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Этап 5.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (2)}{2}$

Этап 5.2.4

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3}}{2}$

Этап 5.3

Чтобы записать $- \frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}}{2}$

Этап 5.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}}{2}$

Этап 5.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}}{2}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 \frac{\frac{π - π \cdot 2}{6}}{2}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$9 \frac{\frac{π - 2 π}{6}}{2}$

Этап 5.6.2

Вычтем $2 π$ из $π$ .

$9 \frac{\frac{- π}{6}}{2}$

Этап 5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 5.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$9 (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.9

Умножим $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{6}$ .

$9 (- \frac{π}{2 \cdot 6})$

Этап 5.9.2

Умножим $2$ на $6$ .

$9 (- \frac{π}{12})$

Этап 5.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{12}$ в числитель.

$9 \frac{- π}{12}$

Этап 5.10.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 (3) \frac{- π}{12}$

Этап 5.10.3

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Этап 5.10.4

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Этап 5.10.5

Перепишем это выражение.

$3 \frac{- π}{4}$

Этап 5.11

Объединим $3$ и $\frac{- π}{4}$ .

$\frac{3 (- π)}{4}$

Этап 5.12

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Этап 5.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 π}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3 π}{4}$

Десятичная форма:

$- 2.35619449 \dots$

Этап 7