Математический анализ Примеры

$y = 9 x^{\frac{5}{2}} - 7 x^{\frac{3}{2}}$ , $x = 4$

Этап 1

По правилу суммы производная $9 x^{\frac{5}{2}} - 7 x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$9 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.7

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.8

Объединим $9$ и $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.9

Умножим $5$ на $9$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 7 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.8

Объединим $- 7$ и $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 7 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 3.9

Умножим $3$ на $- 7$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4

Найдем производную в $x = 4$ .

$\frac{45 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{45 {(4)}^{\frac{3}{2}} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{45 {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{45 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{45 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{45 \cdot 2^{3} - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{45 \cdot 8 - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.2.5

Умножим $45$ на $8$ .

$\frac{360 - 21 {(4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.2.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{360 - 21 {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{360 - 21 \cdot 2^{1}}{2}$

Этап 5.2.9

Найдем экспоненту.

$\frac{360 - 21 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.10

Умножим $- 21$ на $2$ .

$\frac{360 - 42}{2}$

Этап 5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $42$ из $360$ .

$\frac{318}{2}$

Этап 5.3.2

Разделим $318$ на $2$ .

$159$